Prospettiv@

Enunciato: Sia una funzione f continua in [a,b] e sia f(a)f(b)<0 allora esiste un punto c∈ (a,b) tale che f(c)=0 . Graficamente si comprende meglio il significato del problema, cioè l'esistenza di almeno un punto di intersezione di f con l'asse delle x se la funzione passa per due punti opposti rispetto all'asse. Dimostrazione: La dimostrazione vale per la funzione raffigurata nell'immagine (crescente con f(a) < f(b) ) ma può essere estesa a qualsiasi caso che rispetti le condizioni del teorema. Utilizzando il metodo di bisezione si divide l'intervallo [a,b] scrivendo il punto medio c 1 =(b-a)/2 . Se con il punto appena trovato vale la relazione f(c 1 )=0 il teorema è dimostrato. Altrimenti bisogna reiterare il processo prendendo ora il punto c 1 e sostituirlo con la scrittura a 1 se f(c 1 ) <0 o b 1 se f(c 1 )>0 (questa è una semplice formalità per poter reiterare il processo similmente al primo passaggio...

Enunciato: La derivata di una funzione (se esiste) in prossimità di un massimo o di un minimo locale è uguale a zero. In altre parole se f '(c)=0 , in c abbiamo un punto stazionario di massimo o minimo relativo. Dimostrazione: Prendiamo ad esame un punto di massimo relativo di una funzione nell'origine tale che f(0)≥ f(x) e gli intervalli [-ε,0],[0, ε ] . Basta ora studiare il limite del rapporto incrementale in 0 destro e sinistro prendendo come incremento ε . Affinché il limite nel punto 0 esista il limite desto e sinistro devono coincidere, quindi avvicinandoci all'origine avremo che f '(0 + )≤0≤ f '(0 - ) da ciò segue che f '(0)=0 .

Enunciato: Data una funzione continua in un intervallo chiuso  [a,b]  e derivabile nello stesso intervallo aperto  (a,b) se f(a)≠f(b)  esiste un valore c∈(a,b)   tale che  f '(c)=  f(b)-f(a) ⁄ b-a . Il teorema ci garantisce dunque l'esistenza di almeno un punto in cui la pendenza della retta tangente (cioè la derivata) sia uguale alla pendenza della retta passante per   f(a) e  f(b) . Dimostrazione: La dimostrazione consiste nel ricondurre il problema al teorema di Rolle. Per fare ciò bisogna creare una funzione h  che soddisfi Rolle scrivendo una sottrazione tra la funzione f  e la retta passante per f(a)  e f(b) . La nuova funzione infatti si annulla nei punti f(a)  e f(b)  dando quindi come risultato   h(a)=h(b)=0 . Sono soddisfatte inoltre anche le condizioni di funzione continua e derivabile perché h è combinazione lineare di due funzioni a loro volta continue e derivabili nell' intervall...