Analisi matematica \\ Teorema degli zeri

Enunciato:

Sia una funzione f continua in [a,b] e sia f(a)f(b)<0 allora esiste un punto c∈ (a,b) tale che f(c)=0. Graficamente si comprende meglio il significato del problema, cioè l'esistenza di almeno un punto di intersezione di f con l'asse delle x se la funzione passa per due punti opposti rispetto all'asse.

Dimostrazione:

La dimostrazione vale per la funzione raffigurata nell'immagine (crescente con f(a)<f(b)) ma può essere estesa a qualsiasi caso che rispetti le condizioni del teorema. Utilizzando il metodo di bisezione si divide l'intervallo [a,b] scrivendo il punto medio c₁=(b-a)/2. Se con il punto appena trovato vale la relazione f(c₁)=0 il teorema è dimostrato. Altrimenti bisogna reiterare il processo prendendo ora il punto c₁ e sostituirlo con la scrittura a₁ se f(c₁)<0 o b₁ se f(c₁)>0 (questa è una semplice formalità per poter reiterare il processo similmente al primo passaggio). Ora supponiamo di dover reiterare il processo n volte e quindi ottenere il nuovo insieme [a_n,b_n] in cui trovare il valore c. Tenendo presente la relazione che scaturisce dalle bisezioni a<a_n≤b_n<b, possiamo considerare le successioni monotone (cioè decrescenti) e limitate. Se infatti facciamo il limite di a_n e b_n per n→∞ otterremo l'uguaglianza dei due limiti. Allo stesso modo coincideranno i limiti di f(a_n) e f(b_n). Dato che f(a_n) è sicuramente minore di 0 (per la formalità di scrittura iniziale), il limite per n→∞ di f(a_n) è uguale a f(c)≤0 e allo stesso modo sarà uguale al limite di f(b_n) che è sicuramente maggiore di 0, quindi f(c)≥0. Possiamo concludere che il limiti per n→∞ di f(a_n) e f(b_n) sono uguali a 0≤f(c)≤0, ovvero f(c)=0.