Enunciato:
Data una funzione continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile nello stesso intervallo aperto (a,b) se f(a)=f(b) esiste un valore c∈ (a,b) tale che f '(c)=0. Il teorema ci garantisce dunque l'esistenza di almeno un punto stazionario all'interno dell' intervallo, se il valore di f(a) coincide con f(b).
Data una funzione continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile nello stesso intervallo aperto (a,b) se f(a)=f(b) esiste un valore c∈ (a,b) tale che f '(c)=0. Il teorema ci garantisce dunque l'esistenza di almeno un punto stazionario all'interno dell' intervallo, se il valore di f(a) coincide con f(b).
Dimostrazione:
Vanno analizzati due casi
- Se f è monotona ogni suo punto può essere considerato stazionario e di conseguenza, essendo la funzione costante in ogni suo punto f(a)=f(b)=f(c), f'(c)=0 ∀ c∈ [a,b]
- Se f si sposta crescendo e decrescendo si sfrutta il teorema di Weierstrass per dimostrare l'esistenza di un massimo o di un minimo assoluti e poi grazie al Teorema di Fermat si può affermare che in tale punto la derivata faccia zero.
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