Analisi matematica \\ Teorema di Weierstrass

Enunciato:
Sia f una funzione continua in un intervallo [a,b], allora f(x) assumerà un valore di massimo e un valore di minimo assoluti in [a,b].

Dimostrazione:

La dimostrazione più veloce si effettua attraverso l'utilizzo del teorema di Heine-Borel sugli insiemi compatti. Essendo infatti f continua trasforma l'insieme [a,b] compatto per Heine-Borel, in un immagine anch'essa compatta che ammetterà quindi un massimo e un minimo.

Commento:

Per capire quest'ultima relazione si deve tener presente la definizione di insieme compatto che ci garantisce l'esistenza di infiniti punti di accumulazione nell' insieme, cioè quei punti che possiedono sempre, in un loro intorno, punti dell'insieme di appartenenza. Si potrebbe immaginare un insieme compatto come un unico punto esteso, quindi prendendo in esame l'intervallo [a,b] (compatto dotato di estremi di minimo e massimo, a e b) anche l'intervallo immagine di [a,b] generato da f avrà estremi di massimo e minimo.

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