Analisi matematica \\ Teorema di lagrange

Enunciato:

Data una funzione continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile nello stesso intervallo aperto (a,b) se f(a)≠f(b) esiste un valore c∈(a,b) tale che f '(c)= ^f(b)-f(a)⁄_b-a. Il teorema ci garantisce dunque l'esistenza di almeno un punto in cui la pendenza della retta tangente (cioè la derivata) sia uguale alla pendenza della retta passante per f(a) e f(b).

Dimostrazione:

La dimostrazione consiste nel ricondurre il problema al teorema di Rolle. Per fare ciò bisogna creare una funzione h che soddisfi Rolle scrivendo una sottrazione tra la funzione f e la retta passante per f(a) e f(b).

La nuova funzione infatti si annulla nei punti f(a) e f(b) dando quindi come risultato h(a)=h(b)=0. Sono soddisfatte inoltre anche le condizioni di funzione continua e derivabile perché h è combinazione lineare di due funzioni a loro volta continue e derivabili nell' intervallo. Quindi per il teorema di Rolle esisterà un punto c∈(a,b) di h tale che h'(c)=0. Ora basterà derivare tutta la funzione in c per ottenere il risultato voluto.

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