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Programma per il calcolo delle sovrappressioni del colpo d'ariete. Questo codice prevede l'inserimento manuale dei dati all avvio del programma. Per creare il vettore dei tempi,come indicato nel programma, è consigliabile usare la funzione "linspace(inizio, fine, lunghezza del vettore)". %h0=carico piezometrico iniziale %n0=valore della funzione di variazione sezione all otturatore al tempo 0 %a=celerità %t_off=tempo della manovra di chiusura %vettore_t=vettore contenenti i tempi a intervallo costante function[]=allievi() disp('definire il carico piezometrico iniziale h0(metri)') h0=input('h0='); disp('definire la funzione apertura otturatore n0(inizio manovra)') n0=input('n0='); disp('definire la celerità di propagazione') a=input('a='); disp('definire tempo della manovra di chiusura(secondi)') t_off=input('t_off='); disp('vettore dei tempi [funzione "linspace(inizio,fine,num

Enunciato: Sia f una funzione continua in un intervallo [a,b] , allora f(x) assumerà un valore di massimo e un valore di minimo assoluti in [a,b] . Dimostrazione: La dimostrazione più veloce si effettua attraverso l'utilizzo del teorema di Heine-Borel sugli insiemi compatti. Essendo infatti f continua trasforma l'insieme [a,b] compatto per Heine-Borel, in un immagine anch'essa compatta che ammetterà quindi un massimo e un minimo. Commento: Per capire quest'ultima relazione si deve tener presente la definizione di insieme compatto che ci garantisce l'esistenza di infiniti punti di accumulazione nell' insieme, cioè quei punti che possiedono sempre, in un loro intorno, punti dell'insieme di appartenenza. Si potrebbe immaginare un insieme compatto come un unico punto esteso, quindi prendendo in esame l'intervallo [a,b] (compatto dotato di estremi di minimo e massimo, a e b ) anche l'intervallo immagine di [a,b] generato

Enunciato: Data una funzione continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile nello stesso intervallo aperto (a,b) se f(a)=f(b) esiste un valore c∈ (a,b) tale che f '(c)=0 . Il teorema ci garantisce dunque l'esistenza di almeno un punto stazionario all'interno dell' intervallo, se il valore di f(a) coincide con f(b) . Dimostrazione: Vanno analizzati due casi Se f è monotona ogni suo punto può essere considerato stazionario e di conseguenza, essendo la funzione costante in ogni suo punto f(a)=f(b)=f(c) , f'(c)=0 ∀ c∈ [a,b] Se f si sposta crescendo e decrescendo si sfrutta il teorema di Weierstrass per dimostrare l'esistenza di un massimo o di un minimo assoluti e poi grazie al Teorema di Fermat si può affermare che in tale punto la derivata faccia zero.

Enunciato: Sia una funzione f continua in [a,b] e sia f(a)f(b)<0 allora esiste un punto c∈ (a,b) tale che f(c)=0 . Graficamente si comprende meglio il significato del problema, cioè l'esistenza di almeno un punto di intersezione di f con l'asse delle x se la funzione passa per due punti opposti rispetto all'asse. Dimostrazione: La dimostrazione vale per la funzione raffigurata nell'immagine (crescente con f(a) < f(b) ) ma può essere estesa a qualsiasi caso che rispetti le condizioni del teorema. Utilizzando il metodo di bisezione si divide l'intervallo [a,b] scrivendo il punto medio c 1 =(b-a)/2 . Se con il punto appena trovato vale la relazione f(c 1 )=0 il teorema è dimostrato. Altrimenti bisogna reiterare il processo prendendo ora il punto c 1 e sostituirlo con la scrittura a 1 se f(c 1 ) <0 o b 1 se f(c 1 )>0 (questa è una semplice formalità per poter reiterare il processo similmente al primo passaggio

Enunciato: La derivata di una funzione (se esiste) in prossimità di un massimo o di un minimo locale è uguale a zero. In altre parole se f '(c)=0 , in c abbiamo un punto stazionario di massimo o minimo relativo. Dimostrazione: Prendiamo ad esame un punto di massimo relativo di una funzione nell'origine tale che f(0)≥ f(x) e gli intervalli [-ε,0],[0, ε ] . Basta ora studiare il limite del rapporto incrementale in 0 destro e sinistro prendendo come incremento ε . Affinché il limite nel punto 0 esista il limite desto e sinistro devono coincidere, quindi avvicinandoci all'origine avremo che f '(0 + )≤0≤ f '(0 - ) da ciò segue che f '(0)=0 .

Enunciato: Data una funzione continua in un intervallo chiuso  [a,b]  e derivabile nello stesso intervallo aperto  (a,b) se f(a)≠f(b)  esiste un valore c∈(a,b)   tale che  f '(c)=  f(b)-f(a) ⁄ b-a . Il teorema ci garantisce dunque l'esistenza di almeno un punto in cui la pendenza della retta tangente (cioè la derivata) sia uguale alla pendenza della retta passante per   f(a) e  f(b) . Dimostrazione: La dimostrazione consiste nel ricondurre il problema al teorema di Rolle. Per fare ciò bisogna creare una funzione h  che soddisfi Rolle scrivendo una sottrazione tra la funzione f  e la retta passante per f(a)  e f(b) . La nuova funzione infatti si annulla nei punti f(a)  e f(b)  dando quindi come risultato   h(a)=h(b)=0 . Sono soddisfatte inoltre anche le condizioni di funzione continua e derivabile perché h è combinazione lineare di due funzioni a loro volta continue e derivabili nell' intervallo. Quindi per il teorema di Rolle esisterà un punto  c ∈(a,b)