La divergenza è un operatore vettoriale largamente utilizzato non solo in fisica ma anche in dimostrazioni di teoremi puramente matematici. Si definisce come divergenza di un campo F la struttura div(F)=∇⋅F. L' operatore nabla è invece definito in un riferimento cartesiano tridimensionale i,j,k come ∇=i(∂/∂x)+j(∂/∂x)+k(∂/∂x). Per il calcolo della divergenza si ricorre al procedimento di calcolo del prodotto scalare (se si opera su una matrice si segue la regola riga per colonna). E' interessante notare che la divergenza applicata ad una struttura matematica tende a "scalarizzarla", ovvero se la applichiamo ad un vettore otteniamo uno scalare,se la applichiamo a un tensore otteniamo un vettore.
Considerazioni fisico-geometriche:
Si è visto che la divergenza rappresenta un prodotto scalare e dunque se lo applichiamo ad un campo vettoriale otterremo tre funzioni scalari che descrivono gli incrementi che un ipotetico campo subisce nello spazio lungo ogni direzione considerata. Le tre funzioni scalari ovviamente sono sommate nell'unica funzione scalare che la divergenza rappresenta.
Nel complesso (come per le semplici derivate) la divergenza rappresenta un incremento,ma proiettato sugli assi di riferimento.
Immaginiamo questi due campi:
(potremmo associare il primo a quello di un fluido in moto laminare che accelera in una condotta e il secondo al moto di un fluido su una lastra che genera taglio oppure un tornado che si avvita su un asse)
Le linee del primo campo sono tutte parallele tra di loro, per evidenziare l'incremento lungo un solo asse e semplificare l'analisi. Se applichiamo una divergenza al primo campo si otterrebbe un valore diverso da zero e positivo (il campo cresce lungo l'asse concorde)
Se invece prendiamo ad esame il secondo campo la variazione di intensità ortogonale non darà contributo alla divergenza bensì al rotore. Ortogonalmente non si ha nemmeno una componente, ma avrei potuto metterla e mantenerla costante per ottenere lo stesso risultato.
Approfondimento: divergenza di un gradiente
Approfondimento: divergenza di un prodotto scalare-vettore
Approfondimento: teorema della divergenza(solo enunciato)
Si è visto che la divergenza rappresenta un prodotto scalare e dunque se lo applichiamo ad un campo vettoriale otterremo tre funzioni scalari che descrivono gli incrementi che un ipotetico campo subisce nello spazio lungo ogni direzione considerata. Le tre funzioni scalari ovviamente sono sommate nell'unica funzione scalare che la divergenza rappresenta.
Nel complesso (come per le semplici derivate) la divergenza rappresenta un incremento,ma proiettato sugli assi di riferimento.
Immaginiamo questi due campi:
Le linee del primo campo sono tutte parallele tra di loro, per evidenziare l'incremento lungo un solo asse e semplificare l'analisi. Se applichiamo una divergenza al primo campo si otterrebbe un valore diverso da zero e positivo (il campo cresce lungo l'asse concorde)
Se invece prendiamo ad esame il secondo campo la variazione di intensità ortogonale non darà contributo alla divergenza bensì al rotore. Ortogonalmente non si ha nemmeno una componente, ma avrei potuto metterla e mantenerla costante per ottenere lo stesso risultato.
Approfondimento: divergenza di un gradiente
Approfondimento: divergenza di un prodotto scalare-vettore
Approfondimento: teorema della divergenza(solo enunciato)
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