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Analisi matematica \\ Teorema della media integrale

Enunciato:
Data una funzione  f  continua in un intervallo [a,b] esiste un punto c∈(a,b) tale che
(b-a)·f(c)=∫abf(x)dx.
Esiste quindi sempre un altezza media f(c) del rettangolo di base  ab  la cui area è pari al valore dell'integrale di  f  da  a a b.
Dimostrazione:

Per il teorema di Weierstrass esistono massimo e minimo assoluti che indichiamo rispettivamente  M  e  m. Possiamo scrivere quindi m ≤ f(x) ≤ M.
Per la linearità dell' integrale possiamo integrare ogni termine nell'intervallo  [a,b] 
→ ∫abmdx ≤ ∫abf(x)dx ≤ ∫abMdx.
Risolvendo si ha che  m(b-a) ≤ ∫abf(x)dx ≤ M(b-a)  →  m ≤ ( ∫abf(x)dx )/(b-a) ≤ M.
Infine per il teorema dei valori intermedi esiste un valore f(c) compreso tra il minimo e il massimo che assumerà tale valore → f(c)=( ∫abf(x) dx )/(b-a).
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