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Enunciato: Sia una funzione f continua in [a,b] e sia f(a)f(b)<0 allora esiste un punto c∈ (a,b) tale che f(c)=0 . Graficamente si comprende meglio il significato del problema, cioè l'esistenza di almeno un punto di intersezione di f con l'asse delle x se la funzione passa per due punti opposti rispetto all'asse. Dimostrazione: La dimostrazione vale per la funzione raffigurata nell'immagine (crescente con f(a) < f(b) ) ma può essere estesa a qualsiasi caso che rispetti le condizioni del teorema. Utilizzando il metodo di bisezione si divide l'intervallo [a,b] scrivendo il punto medio c 1 =(b-a)/2 . Se con il punto appena trovato vale la relazione f(c 1 )=0 il teorema è dimostrato. Altrimenti bisogna reiterare il processo prendendo ora il punto c 1 e sostituirlo con la scrittura a 1 se f(c 1 ) <0 o b 1 se f(c 1 )>0 (questa è una semplice formalità per poter reiterare il processo similmente al primo passaggio...

Enunciato: La derivata di una funzione (se esiste) in prossimità di un massimo o di un minimo locale è uguale a zero. In altre parole se f '(c)=0 , in c abbiamo un punto stazionario di massimo o minimo relativo. Dimostrazione: Prendiamo ad esame un punto di massimo relativo di una funzione nell'origine tale che f(0)≥ f(x) e gli intervalli [-ε,0],[0, ε ] . Basta ora studiare il limite del rapporto incrementale in 0 destro e sinistro prendendo come incremento ε . Affinché il limite nel punto 0 esista il limite desto e sinistro devono coincidere, quindi avvicinandoci all'origine avremo che f '(0 + )≤0≤ f '(0 - ) da ciò segue che f '(0)=0 .

Enunciato: Data una funzione continua in un intervallo chiuso  [a,b]  e derivabile nello stesso intervallo aperto  (a,b) se f(a)≠f(b)  esiste un valore c∈(a,b)   tale che  f '(c)=  f(b)-f(a) ⁄ b-a . Il teorema ci garantisce dunque l'esistenza di almeno un punto in cui la pendenza della retta tangente (cioè la derivata) sia uguale alla pendenza della retta passante per   f(a) e  f(b) . Dimostrazione: La dimostrazione consiste nel ricondurre il problema al teorema di Rolle. Per fare ciò bisogna creare una funzione h  che soddisfi Rolle scrivendo una sottrazione tra la funzione f  e la retta passante per f(a)  e f(b) . La nuova funzione infatti si annulla nei punti f(a)  e f(b)  dando quindi come risultato   h(a)=h(b)=0 . Sono soddisfatte inoltre anche le condizioni di funzione continua e derivabile perché h è combinazione lineare di due funzioni a loro volta continue e derivabili nell' intervall...

Dato un vettore v =(v x ,v y , v z ) e una funzione scalare a(x,y,z),si vuole dimostrare la seguente relazione: div(a⋅ v )=a⋅div( v )+ v ⋅ ∇ (a) (si usa per la dimostrazione di molti teoremi di meccanica razionale,e anche per alcune dimostrazioni alternative di alcuni concetti di scienza delle costruzioni) Svolgimento:

Enunciato: Data una funzione   f  continua in un intervallo [a,b]   esiste un punto c∈(a,b) tale che (b-a)·f(c)=∫ a b f(x)dx . Esiste quindi sempre un altezza media f(c)  del rettangolo di base  ab   la cui area è pari al valore dell'integrale di   f  da  a  a  b . Dimostrazione: Per il teorema di Weierstrass esistono massimo e minimo assoluti che indichiamo rispettivamente   M  e   m . Possiamo scrivere quindi m ≤ f(x) ≤ M . Per la linearità dell' integrale possiamo integrare ogni termine nell'intervallo   [a,b]  →  ∫ a b mdx  ≤  ∫ a b f(x) dx  ≤  ∫ a b Mdx . Risolvendo si ha che   m(b-a)  ≤  ∫ a b f(x) dx  ≤  M (b-a)   →  m  ≤ (  ∫ a b f(x) dx )/(b-a)  ≤  M . Infine per il teorema dei valori intermedi esiste un valore  f(c)  compreso tra il minimo e il massimo che assumerà tale valore →  f(c)=...

Il rotore è un operatore vettoriale abbastanza utilizzato in analisi che trova una sua modesta applicazione nello studio dei campi come quelli usati per la meccanica dei mezzi fluidi e per la meccanica del continuo. Trattare il rotore nella sua completezza risulta ovviamente molto complesso, ma se ci soffermiamo su alcune sue caratteristiche e su come si rapporta alle altre strutture matematiche si può riuscire ad apprezzare il suo funzionamento. Prima di tutto si definisce come rotore di un campo F la struttura rot( F )= ∇ x F . L' operatore nabla è invece definito in un riferimento cartesiano tridimensionale i , j , k come ∇ = i ∂/∂x +j ∂/∂x +k ∂/∂x. Per il calcolo del rotore si fa riferimento al procedimento del prodotto vettoriale che per un più facile sviluppo viene così schematizzato: Considerazioni fisico-geometriche: Una prima considerazione è che essendo un prodotto vettoriale genera un vettore le cui componenti sono sempre ortogonali ad ogni piano considerato (s...

La divergenza è un operatore vettoriale largamente utilizzato non solo in fisica ma anche in dimostrazioni di teoremi puramente matematici. Si definisce come divergenza di un campo F la struttura div( F )= ∇ ⋅ F . L' operatore nabla è invece definito in un riferimento cartesiano tridimensionale i , j , k come ∇ = i( ∂/∂x )+j( ∂/∂x )+k( ∂/∂x ) . Per il calcolo della divergenza si ricorre al procedimento di calcolo del prodotto scalare (se si opera su una matrice si segue la regola riga per colonna). E' interessante notare che la divergenza applicata ad una struttura matematica tende a "scalarizzarla", ovvero se la applichiamo ad un vettore otteniamo uno scalare,se la applichiamo a un tensore otteniamo un vettore. Considerazioni fisico-geometriche: Si è visto che la divergenza rappresenta un prodotto scalare e dunque se lo applichiamo ad un campo vettoriale otterremo tre funzioni scalari che descrivono gli incrementi che un ipotetico campo subisce nello spazio ...